Unglaublich aber wahr: Sich seine Gewinnmöglichkeiten bei der österreichischen Impf-Lotterie auszurechnen, gehört zum Thema Finanzbildung. Die behandelten Punkte umfassen Wahrscheinlichkeiten, bedingte Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte. Legen wir also los.
Gestern wurde im österreichischen Nationalrat die Impflicht beschlossen. Interessanterweise gibt es zusätzlich auch eine Impf-Lotterie. Besser kann man “jemanden zu seinem Glück zwingen” wohl kaum von der Theorie in die Praxis umsetzen.
Wie viel Ungeimpfte erwarten dürfen
Reden wir nicht lange um den heißen Brei herum. Wer ungeimpft ist, nimmt auch nicht an der Lotterie teil. Dementsprechend liegt die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen bei 0 Prozent. Der Erwartungswert liegt entsprechend bei 0 Euro.
Wer einmal geimpft ist…
Auch der nächste Fall ist einfach. Nämlich bei Personen, die eine Teilimpfung erhalten haben. Pro Impfung liegt die Wahrscheinlichkeit auf einen 500 Euro Gewinn bei genau 10 Prozent.
Heißt: Wer 1 mal geimpft ist, gewinnt mit 10-prozentiger Wahrscheinlichkeit 500 Euro. Der Erwartungswert liegt entsprechend bei 50 Euro. Die Rechnung lautet Gewinn mal Wahrscheinlichkeit. Also 500 mal 10 Prozent.
Die doppelt Geimpften
Wer 2 mal geimpft ist, steigert seine Wahrscheinlichkeit logischerweise. Aber nicht auf 20 Prozent, wie man denken könnte.
Denn es gibt jetzt insgesamt vier Szenarien.
- Kein Gewinn
- Gewinn mit beiden Impfungen
- Gewinn mit Impfung 1
- Gewinn mit Impfung 2
Szenario 1 – kein Gewinn
Hier wird es ein wenig tricky. So liegt die Wahrscheinlichkeit mit der ersten Teilimpfung nicht zu gewinnen bei 90 Prozent. Die Wahrscheinlichkeit nun auch mit der zweiten Teilimpfung leer auszugehen, liegt erneut bei 90 Prozent.
Die Rechnung lautet: 90 Prozent mal 90 Prozent. Das Ergebnis: 81 Prozent Wahrscheinlichkeit mit 0 Euro auszusteigen.
Der Umkehrschluss: Zu 19 Prozent werde ich sehr wohl was gewinnen.
Szenario 2 – Doppelter Gewinn
Es gibt eine 10 Prozent Wahrscheinlichkeit, dass Impfung 1 gewinnt und nochmal eine 10 Prozent Wahrscheinlichkeit, dass Impfung 2 gewinnt. Die Wahrscheinlickeit auf den Doppelsieg liegt entsprechend bei 1 Prozent. Die Rechnung lautet 10 Prozent mal 10 Prozent.
Szenario 3 und 4
Es bleiben 18 Prozent übrig, die sich gleichmäßig auf die Szenarien 2 und 3 aufteilen. Das heißt: 9 Prozent Wahrscheinlichkeit für Szenario 2 und 9 Prozent Wahrscheinlichkeit für Szenario 3.
Schauen wir uns an, wie es sich berechnet.
10 Prozent x 90 Prozent (erste Impfung Preis, zweite Impfung Niete) = 9 Prozent.
90 Prozent x 10 Prozent (erste Impfung Niete, zweite Impfung Preis) = 9 Prozent.
Addiert man die beiden Werte, kommt man auf 18 Prozent.
Erwartungswert für doppelt Geimpfte
Sehen wir uns nun den Erwartungswert für doppelt Geimpfte an.
81 Prozent Wahrscheinlichkeit auf 0 Euro = 0 Euro
1 Prozent Wahrscheinlichkeit auf 1000 Euro = 10 Euro
9 Prozent Wahrscheinlichkeit auf 500 Euro = 45 Euro
9 Prozent Wahrscheinlichkeit auf 500 Euro = 45 Euro
Macht in Summe 100 Euro Erwartungswert..
Geboosterte haben höchste Chancen und Erwartungswert
Kommen wir nun zu den Geboosterten. Diese haben – das sagt einem ja schon die eigene Intuition – die höchsten Chancen. Sie haben ja auch quasi die meisten “Lose” in der Lotterie.
Geboosterte haben gleich drei Gewinnchancen, eine je Teilimpfung.
Es gibt nun insgesamt acht Szenarien, die möglich sind:
0-0-0 drei Nieten
1-1-1 drei Sieger
1-1-0 zwei Siege
1-0-1 zwei Siege
0-1-1 zwei Siege
1-0-0 ein Sieg
0-1-0 ein Sieg
0-0-1 ein Sieg
Die Wahrscheinlichkeit durch die Finger zu schauen
Natürlich gibt es auch bei Geboosterten, die Chance gar nichts zu gewinnen. Die Wahrscheinlichkeit errechnet sich wie folgt:
Drei Nieten: 90 Prozent x 90 Prozent x 90 Prozent = 72,9 Prozent.
Die Wahrscheinlichkeit auf 1.500 Euro
Auch drei Siege sind möglich: 10 Prozent x 10 Prozent x 10 Prozent = 0,1 Prozent
Die Wahrscheinlichkeit auf 1.000 Euro
Um zwei mal zu siegen, kommen gleich drei Szenarien in Frage.
Sieg – Sieg – Niederlage
Sieg – Niederlage – Sieg
Niederlage – Sieg – Sieg
Oder anders:
10 Prozent x 10 Prozent x 90 Prozent = 0,9 Prozent
10 Prozent x 90 Prozent x 10 Prozent = 0,9 Prozent
90 Prozent x 10 Prozent x 10 Prozent = 0,9 Prozent
Die Summe drei Szenarien: 2,7 Prozent
500 Euro sind relativ wahrscheinlich
Um ein einziges mal zu siegen, kommen ebenfalls drei Szenarien in Frage.
Sieg – Niederlage – Niederlage
Niederlage – Niederlage – Sieg
Niederlage – Sieg – Niederlage
Oder anders:
10 Prozent x 90 Prozent x 90 Prozent = 8,1 Prozent
90 Prozent x 90 Prozent x 10 Prozent = 8,1 Prozent
90 Prozent x 10 Prozent x 90 Prozent = 8,1 Prozent
Die Summe drei Szenarien: 24,3 Prozent
Erwartungswerte
Ob wir uns verrechnet haben, verrät uns die Probe.
Addiert man nun 72,9 Prozent (kein Sieg) + 0,1 Prozent (3 Siege) + 2,7 Prozent (2 Siege) + 24,3 Prozent (1 Sieg) kommt man auf 100 Prozent. Passt.
Widmen wir uns nun dem Erwartungswert für Geboosterte.
72,9 Prozent mal 0 Euro = 0 Euro
0,1 Prozent mal 1.500 Euro = 1,5 Euro
2,7 Prozent mal 1.000 Euro = 27 Euro
24,3 Prozent mal 500 Euro = 121,5 Euro
Macht in Summe 150 Euro. Geboosterte können also davon ausgehen (damit rechnen), dass sie 150 Euro gewinnen.
Fazit + Rechenbeispiel 4-köpfige Familie
Werfen wir zum Abschluss noch einmal einen Blick auf die Erwartungswerte:
0 Impfungen = 0 Euro
1 Impfung = 50 Euro
2 Impfungen = 100 Euro
3 Impfungen = 150 Euro
Wer geboostert ist, kann seinen Erwartungswert also um 50 Prozent gegenüber doppelt Geimpften steigern. Diese können ihren Erwartungswert hingegen im Vergleich zu einfach Geimpften sogar verdoppeln (ein Hoch auf relative Unterscheidungen).
Dieser Erwartungswert ist für einen einzelnen natürlich relativ aussageschwach. Wenn man aber nun eine 4-köpfige Familie hernimmt, wo die Eltern geboostert und die beiden Kinder doppelt geimpft sind, kann man sich ausrechnen, dass man mit 500 Euro rechnen kann. Die Rechnung lautet: 150 je Geboostertem (300 Euro) + 100 Euro je doppelt Geimpftem (200 Euro).
Die Wahrscheinlichkeit, dass man als vierköpfige Familie leer ausgeht? Kann man ebenfalls ausrechnen. Hier kommt wieder die bedingte Wahrscheinlichkeit ins Spiel.
Die Rechnung lautet:
72,9 Prozent x 72,9 Prozent x 81 Prozent, x 81 Prozent. Das Ergebnis lautet 34,87 Prozent. Oder anders: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 65,13 Prozent gewinnt zumindest einer in der Familie Geld (also 500 Euro oder mehr).
Abschließen bleibt allen Teilnehmern nur noch eines zu wünschen: Viel Glück!
